數(shù)列{an}滿足：a1=1，
1
a
2
n
+4
=
1
an+1
，記Sn=
n
i=1
a
2
i
，若S2n+1-Sn≤
t
30
對任意的n（n∈N+）恒成立，則正整數(shù)t的最小值為
 
．
分析：先求出 數(shù)列{an2}的通項公式，令 g（n）=S2n+1-Sn，化簡g（n）-g（n+1）的解析式，判斷符號，得出g（n）為減數(shù)列的結(jié)論，從而得到 S2n+1-Sn≤g(1)=
14
45
≤
t
30
，可求正整數(shù)t的最小值．
解答：解：∵數(shù)列{an}滿足：a1=1，
1
a
2
n
+4
=
1
an+1
，∴
1
an+12
-
1 
an2
=4，
∴數(shù)列{an2}是以4為公差、以1為首項的等差數(shù)列，
易得：
a
2
n
=
1
4n-3
，令 g（n）=S2n+1-Sn，
而g（n）-g（n+1）=
a
2
n+1
-
a
2
2n+2
-
a
2
2n+3
=
1
4n+1
-
1
8n+5
-
1
8n+9
＞0，為減數(shù)列，
所以：S2n+1-Sn≤g(1)=
14
45
≤
t
30
，而t為正整數(shù)，所以，tmin=10
點評：本題考查利用數(shù)列的遞推式求通項公式及函數(shù)的恒成立問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c為實數(shù)，且c≠0．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=
an+3
2
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
2
時，證明：an＜
3
2
；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{an-1}的前n項之積為Tn．若對任意正整數(shù)n，總有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•天津模擬）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c為實數(shù)，且c≠0．
（1）求證：a≠1時數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列，并求an；
（2）設(shè)a=
1
2
c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；
（3）設(shè)a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
(n∈N*)，記dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{dn}的前n項和為Tn，求證：對任意正整數(shù)n都有Tn＜
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•大連二模）已知a為實數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=a，當(dāng)n≥2時，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）當(dāng)a=200時，填寫下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）當(dāng)a=200時，求數(shù)列{an}的前200項的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求證：當(dāng)1＜a＜
5
3
時，T n＜
5-3a
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知常數(shù)a、b都是正整數(shù)，函數(shù)f(x)=
x
bx+1
（x＞0），數(shù)列{an}滿足a1=a，
1
an+1
=f(
1
an
)（n∈N*）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若a=8b，且等比數(shù)列{bn}同時滿足：①b1=a1，b2=a5；②數(shù)列{bn}的每一項都是數(shù)列{an}中的某一項．試判斷數(shù)列{bn}是有窮數(shù)列或是無窮數(shù)列，并簡要說明理由；
（3）對問題（2）繼續(xù)探究，若b2=am（m＞1，m是常數(shù)），當(dāng)m取何正整數(shù)時，數(shù)列{bn}是有窮數(shù)列；當(dāng)m取何正整數(shù)時，數(shù)列{bn}是無窮數(shù)列，并說明理由．

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