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已知函數（，為自然對數的底數）.

（1）求函數的最小值；

（2）若≥0對任意的恒成立，求實數的值；

（3）在（2）的條件下，證明：

 

【答案】

（1）其最小值為（2）（3）由累加即可得證.

【解析】

試題分析：（1）由題意，

由得.

當時, ；當時，.

∴在單調遞減，在單調遞增.

即在處取得極小值，且為最小值，

其最小值為     

（2）對任意的恒成立，即在上，.

由（1），設，所以.

由得.

易知在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，

∴ 在處取得最大值，而.

因此的解為，∴.     

（3）由（2）知，對任意實數均有，即.

令 ，則.

∴ .

∴

   

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用；導數的運算．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，同時考查不等式的證明，解題的關鍵是正確求導數，確定函數的單調性．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（12分）已知函數且e為自然對數的底數）。

（1）求的導數，并判斷函數的奇偶性與單調性；

（2）是否存在實數t，使不等式對一切都成立，若存在，求出t；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數學 來源：2014屆福建省、二中高二上學期期末聯考理科數學卷（解析版） 題型：解答題

已知函數，，(為自然對數的底數)．

（Ⅰ）當時，求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）函數在區(qū)間上恒為正數，求的最小值；

（Ⅲ）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍．

 

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年甘肅高三第五次階段性學科達標考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數，（為自然對數的底數）。

（1）當時，求函數在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍。

 

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科目：高中數學 來源：2013屆江西省四校度高二下學期期末聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知函數，(e為自然對數的底數)

（Ⅰ）當a=1時，求函數f(x)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若函數f(x)在上無零點，求a的最小值；

（III）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求a的取值范圍.

 

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