設(shè)函數(shù)是定義在[-1,0)∪(0,1]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),a∈R).

(1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),求的解析式;

(2)若a>-1,試判斷在(0,1)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;

(3)是否存在a,使得當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)有最大值-6.

 

【答案】

(1)f(x)=2ax,x∈(0,1];(2)見解析;

(3)存在a=-2,使f(x)在(0,1)上有最大值-6.

【解析】(1)對(duì)于奇函數(shù)求對(duì)稱區(qū)間上的解析式,根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征,只須用-x,-y,分別代替原對(duì)稱區(qū)間中的x,y,然后兩邊同乘以-1,即可得到所求區(qū)間上的解析式

(2)通過(guò)證明當(dāng)a>-1時(shí),判斷上的值的情況,進(jìn)而確定f(x)在(0,1]上是否具有單調(diào)性

(3)本題本質(zhì)是求函數(shù)f(x)在x∈(0,1)上的最大值因而,要對(duì)a進(jìn)行討論求最大值,然后利用最大值為-6,求出a值,再驗(yàn)證是否滿意a的條件,進(jìn)而判斷出a值是否存在

(1)設(shè)x∈(0,1],則-x∈[-1,0),f(-x)=-2ax+,

f(x)是奇函數(shù).∴f(x)=2ax,x∈(0,1].                    

(2)證明:∵f′(x)=2a+,

a>-1,x∈(0,1],>1,∴a+>0.即f′(x)>0.

f(x)在(0,1]上是單調(diào)遞增函數(shù).  

(3)解:當(dāng)a>-1時(shí),f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增.

f(x)max=f(1)=-6,a=-(不合題意,舍之), 

當(dāng)a≤-1時(shí),f′(x)=0,x=.

如下表:fmax(x)=f()=-6,解出a=-2. x=∈(0,1).   

(-∞,

,+∞)

+

0

 

最大值

∴存在a=-2,使f(x)在(0,1)上有最大值-6.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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5
2
)=-
1
f(x)
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a+3
a-3
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(本小題滿分15分)

設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),a為實(shí)數(shù)).

(1)當(dāng)時(shí),求的解析式;

(2)當(dāng)時(shí),試判斷上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.

 

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