Question

(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）

對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)M＞0,對(duì)任意的，恒有     

            

則稱數(shù)列為B-數(shù)列

（1）       首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由;

請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題

判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

（2）       設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，給出下列兩組論斷；

A組：①數(shù)列是B-數(shù)列      ②數(shù)列不是B-數(shù)列

B組：③數(shù)列是B-數(shù)列      ④數(shù)列不是B-數(shù)列

請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題。

判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

（3） 若數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列。

Answer 1

解析：（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則，于是

      

因此｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜=

因?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090629/20090629100832010.gif' width=43>所以即           

    

   故首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列。

（2）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列

      次命題為假命題。

     事實(shí)上，設(shè)，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但

                     

由的任意性知，數(shù)列是B-數(shù)列此命題為。

命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列

此命題為真命題

事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的有

                    

即。于是

       

所以數(shù)列是B-數(shù)列。

（III）若數(shù)列 {}是數(shù)列，則存在正數(shù)，對(duì)任意的有

  

注意到

  

同理：            

記，則有

因此 

      +

故數(shù)列是數(shù)列