Question

小明家中有兩種酒杯,一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形,稱之為直角酒杯,另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線,杯口寬4 cm,杯深為8 cm,稱之為拋物線酒杯.

(1)請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出拋物線酒杯的方程.

(2)一次,小明在游戲中注意到一個(gè)現(xiàn)象,若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,則任何玻璃球都不能觸及酒杯杯底.但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中,則有些小玻璃球能觸及酒杯杯底.小明想用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)研究一下,當(dāng)玻璃球的半徑r為多大值時(shí),玻璃球一定會(huì)觸及酒杯杯底.你能幫助小明解決這個(gè)問題嗎?

(3)在拋物線酒杯中,放入一根粗細(xì)均勻、長度為2 cm的細(xì)棒,假設(shè)細(xì)棒的端點(diǎn)與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計(jì),那么當(dāng)細(xì)棒最后達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí),細(xì)棒在酒杯中位置如何?

Answer 1

解：(1)如圖,以杯底中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x²=2px(p＞0).

將x=2,y=8代入拋物線方程,得p=,

∴拋物線方程為x²=y.

(2)設(shè)圓心在y軸正半軸上,且過原點(diǎn)的圓的方程為x²+(y-r)²=r²,將其代入拋物線方程并消去x,得y²+(-2r)y=0.

∴y₁=0,y₂=2r-.

若要使玻璃球在杯中能觸及杯底,則要y₂=2r-≤0,

即當(dāng)0＜r≤時(shí),玻璃球一定會(huì)觸及杯底.

(3)如圖,由于細(xì)棒的粗細(xì)均勻,所以細(xì)棒的平衡狀態(tài)就是細(xì)棒的中點(diǎn)M(即細(xì)棒的重心)處于最低位置狀態(tài).因此問題就轉(zhuǎn)化為長度為2 cm的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線x²=y上移動(dòng),當(dāng)線段AB的中點(diǎn)M到x軸的距離最短時(shí),求點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo).

由題意可知焦點(diǎn)F(0,),準(zhǔn)線l:y=-,過A、B、M分別作l的垂線,垂足為A′、B′、D,連結(jié)AF、BF,由拋物線定義可知|MD|=(|AA′|+|BB′|)=(|AF|+|BF|),

由于|AB|=2大于通徑,因此在△AFB中,|AF|+|BF|≥|AB|,

∴y=|MD|-≥|AB|-=.

當(dāng)且僅當(dāng)線段AB過焦點(diǎn)F時(shí),等號(hào)成立,

設(shè)AB的方程是y=kx+,代入拋物線方程得x²-kx-=0.

由|AB|=2,得k=±.

最后求得M的坐標(biāo)為(±,).