Question

已知一橢圓經過點（2，-3）且與橢圓9x²+4y²=36有共同的焦點
（1）求橢圓方程；
（2）若P為橢圓上一點，且，P，F₁，F₂是一個直角三角形的頂點，且|PF₁|＞|PF₂|，求|PF₁|：|PF₂|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，可設所求橢圓方程為  ，代入（2，-3）點，解得m=10，或m=-2（舍），得到所求方程．
 （2）①若∠PF₂F₁=90⁰ ，，由橢圓的定義可得，
于是|PF₁|：|PF₂|=2． ②若∠F₁PF₂=90，則，，，由△＜0 知無解，即這樣的三角形不存在．
解答：解：（1）∵，
與之有共同焦點的橢圓可設為，代入（2，-3）點，
解得m=10，或m=-2（舍），故所求方程為．
（2）①若∠PF₂F₁=90⁰ ，
則，
于是|PF₁|：|PF₂|=2．
②若∠F₁PF₂=90，則，，，
∵△＜0，∴無解，即這樣的三角形不存在，
綜合1，2 知，|PF₁|：|PF₂|=2．
點評：本題考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，求出|PF₁|和|PF₂|的值，是解題的關鍵．