Question

（2009•黃浦區(qū)一模）如圖所示，已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=3，AB=AA₁=4，M是A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求BM與平面ACD₁所成的角；
（2）求點(diǎn)M到平面ACD₁的距離．

Answer 1

分析：（1）首先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量

BM

的坐標(biāo)和平面ACD₁的法向量

n

，最后求

BM

與

n

的夾角的余弦值，取絕對(duì)值后即為線面角的正弦值
（2）由（1）知平面ACD₁的法向量

n

，再求向量

AM

的坐標(biāo)，最后求

AM

在

n

方向上的投影的長(zhǎng)度即為M到平面ACD₁的距離

解答：解  （1）按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為D（0，0，0）、A（3，0，0）、B（3，4，0），C（0，4，0），A₁（3，0，4），B₁（3，4，4），D₁（0，0，4），M（3，2，4），進(jìn)一步有

BM

=(0，-2，4)，

AC

=(-3，4，0)，

AD1

=(-3，0，4)．
設(shè)平面ACD₁的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n  • AC =0 n  • AD1 =0

，即

-3x+4y=0 -3x+4z=0

．取z=3，得x=4，y=3．
所以平面ACD₁的一個(gè)法向量為

n

=(4，3，3)．
記

n

與

BM

的夾角為?，BM與平面ACD1所成角為θ，
于是，sinθ=|cos?|=|

n  • BM

| n  |•| BM |

|=

3

170

，θ=arcsin

3 170

170

．
所以，直線BM與平面ACD₁所成角為θ=arcsin

3 170

170

．
（2）記點(diǎn)M到平面ACD₁的距離為d．
由（1）知，平面ACD₁的一個(gè)法向量為

n

=(4，3，3)，

AM

=(0，2，4)，
于是，d=

| n • AM |

| n |

=

18

34

=

9 34

17

． 
所以點(diǎn)M到平面ACD₁的距離為d=

9 34

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用空間向量解決立體幾何問題的方法和思路，解題時(shí)要學(xué)會(huì)熟練的求平面的法向量，并體會(huì)空間線面角、面面角是怎樣轉(zhuǎn)化為線線角的．