Question

已知是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，

（1）求函數(shù)在上的解析式；

（2）判斷在上的單調(diào)性并證明；

（3）對于任意,不等式恒成立,求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】(1)當(dāng)x∈(－,0), 則－x∈(0,),根據(jù)

同時(shí)注意f(0)=0.

(2)要利用單調(diào)性的定義來判斷.或利用導(dǎo)數(shù)也可以.

（3）解本題的關(guān)鍵是把原不等式轉(zhuǎn)化為,下一步的關(guān)鍵是確定當(dāng)時(shí)，

結(jié)合圖像可知恒成立.進(jìn)而不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決即可.

解：（1）∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴ f(0)=0------------------1分

設(shè)x∈(－,0), 則－x∈(0,)，

-------------3分

----------------------4分

（2）設(shè)，有

------8分

∵，∴，∴

∴f(x)在（，0）上為減函數(shù)------------------------9分

（3）由得

------------------10分

    又當(dāng)時(shí)，

結(jié)合圖像可知恒成立，故恒成立-------12分

故，

--------------------------------15分