Question

【題目】某科技博覽會展出的智能機器人有 A，B，C，D 四種型號，每種型號至少有 4 臺．要求每 位購買者只能購買1臺某種型號的機器人，且購買其中任意一種型號的機器人是等可能的．現(xiàn)在有 4 個人要購買機器人．
（Ⅰ）在會場展覽臺上，展出方已放好了 A，B，C，D 四種型號的機器人各一臺，現(xiàn)把他們 排成一排表演節(jié)目，求 A 型與 B 型相鄰且 C 型與 D 型不相鄰的概率；
（Ⅱ）設這 4 個人購買的機器人的型號種數為ξ，求ξ 的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】解：（I） A 型與 B 型相鄰且 C 型與 D 型不相鄰只能是C、AB、D，或C、BA、D，C，D也可以交換． 因此概率P= = ．
（II）ξ的可能取值為1，2，3，4．
P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，P（ξ=4）= = ，P（ξ=3）= =.
∴

ξ	1	2	3	4
P

∴E（ξ）=1× +2× +4× +3× =
【解析】（I） 四中機器人的總的排序為 ，A 型與 B 型相鄰且 C 型與 D 型不相鄰只能是C、AB、D，或C、BA、D，C，D也可以交換．（II）ξ的可能取值為1，2，3，4．P（ξ=1）= ，P（ξ=2）= ，P（ξ=4）= ，P（ξ=3）= ，即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．