Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（3-x）=f（3+x），且方程f（x）=0有n個(gè)實(shí)根x₁，x₂，…，x_n（n∈N^*），則x₁+x₂+…+x_n=

3n

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，由此可得方程f（x）=0的n個(gè)根分布于直線x=3的兩側(cè)，恰好關(guān)于直線x=3對(duì)稱，利用倒序相加法求和即可算出x₁+x₂+…+x_n的值．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x）滿足f（3-x）=f（3+x），∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱
因此，當(dāng)方程f（x）=0有n個(gè)實(shí)根x₁，x₂，…，x_n（n∈N^*）時(shí)，
這n個(gè)根分布于直線x=3的兩側(cè)，恰好關(guān)于直線x=3對(duì)稱
不妨設(shè)x₁＜x₂＜…＜x_n，可得x₁+x_n=x₂+x_n-1=…=6
設(shè)x₁+x₂+…+x_n=S，則2S=（x₁+x_n）+（x₂+x_n-1）+…+（x_n+x₁）=6n
∴S=3n，即x₁+x₂+…+x_n=3n
故答案為：3n

點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)圖象關(guān)于直線定直線對(duì)稱，求方程f（x）=0的n個(gè)實(shí)根的和，著重考查了函數(shù)的奇偶性、圖象的對(duì)稱性與倒序相加法求和等知識(shí)，屬于中檔題．