如圖,在四棱錐中,平面,,且,點在上.
（1）求證:；
（2）若二面角的大小為,求與平面所成角的正弦值.
（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）要證明直線和直線垂直，往往利用直線和平面垂直的性質，先證明線面垂直，進而證明直線和直線垂直．本題可先證明平面，因平面,所以,故只需證明，可放在中利用平面幾何的知識證明；（2）以以為原點,分別以射線為軸的正半軸,建立空間直角坐標系.分別表示相關點的坐標，通過二面角的大小為，確定點的坐標，再求直線的方向向量和面的法向量的夾角余弦，其絕對值即所求與平面所成角的正弦值．
（1）如圖,設為的中點,連結,
則,所以四邊形為平行四邊形,
故,又,
所以,故,
又因為平面,所以,
且,所以平面,故有                          5分

（2）如圖,以為原點,分別以射線
為軸的正半軸,建立空間直角坐標系.
則,
設,易得,
設平面的一個法向量為,則,
令得,即.
又平面的一個法向量為,
由題知,解得,
即,而是平面的一個法向量,
設平面與平面所成的角為,則.
故直線與平面所成的角的正弦值為.                          12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如下圖所示，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F－BE－D的余弦值；
(3)設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，
，。M、N分別是AC和BB1的中點。
（1）求二面角的大小。
（2）證明：在AB上存在一個點Q，使得平面⊥平面，   
并求出的長度。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（2013•湖北）如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點．
（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明；
（2）設（1）中的直線l與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E﹣l﹣C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱錐中，，，，點在平面內(nèi)的射影恰為的重心，M為側棱上一動點．

（1）求證：平面平面；
（2）當M為的中點時，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知點A（-3,1,4），則點A關于x軸的對稱點的坐標為（  ）
A．（-3,1，-4）B．（3，-1，-4）C．（-3，-1，-4）D．（-3，,1，-4）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

給出下列四個命題：
① 因為，所以；
② 由兩邊同除，可得；
③ 數(shù)列1，4，7，10，…，的一個通項公式是；
④ 演繹推理是由一般到特殊的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理．
其中正確命題的個數(shù)有（     ）
A．1個B．2個C．3個D．4個

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱中，P是側棱上的一點，.
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º；
（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的m，
⊥AP，并證明你的結論.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知實數(shù)x，y，z滿足，則的最小值是(    )
A．
B．3
C．6
D．9

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