Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求正實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）1．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）令，然后求其導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造新函數(shù)，從而通過(guò)求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而使問(wèn)題得證；（Ⅱ）首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意恒成立，從而令，然后求出其導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到的單調(diào)性，由此可求得的值．

試題解析：（Ⅰ）令，則

令則

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

所以單調(diào)遞增，

則即原命題成立．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，

等價(jià)于，對(duì)于任意恒成立，

令，則．

令，

則．

由（Ⅰ）得，則在上單調(diào)遞減．

（1）當(dāng)時(shí)，，且

在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以的最大值為，即恒成立．

（2）當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，由，解得．

即時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以此時(shí)，

與恒成立矛盾．

（3）當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，由，解得．

即時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以此時(shí)，

與恒成立矛盾．

綜上，的值為1．