Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1-x）=f（-x-3），當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)=

x

2

，那使f(x)=

1

2

成立的x的集合為（　�。�

• A、{x|x=2n，n∈Z}
• B、{x|x=2n-1，n∈Z}
• C、{x|x=4n-1，n∈Z}
• D、{x|x=4n+1，n∈Z}

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，又由f（1-x）=f（-x-3），則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，則易得函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，又由當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)=

x

2

，則當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=

1

2

，則易求f(x)=

1

2

成立的x的集合．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
又∵f（1-x）=f（-x-3），
∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
又∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)=

x

2

，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=

1

2

，
∴使f(x)=

1

2

成立的x的集合為{x|x=2n-1，n∈Z}
故選B

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的周期性解題要注意：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，①若f（x+T）=f（x），則T為函數(shù)的周期；②若f（x+T）=-f（x），則2T為函數(shù)的周期；③若（a，y），（b，y）分別為函數(shù)的兩個(gè)對(duì)稱中心則T=2|a-b|④若x=a，x=b都是函數(shù)的對(duì)稱軸，則T=2|a-b|．