Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥C，AD=DC=CB=1，∠ABC═60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；
（3）若點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平MAB與平FCB所成二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在梯形ABCD中，由AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，推導(dǎo)出AB²=AC²+BC²，BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，能證明BC⊥平面ACFE．
（2）取FB中點(diǎn)G，連接AG，CG，由AF=

AC2+CF2

=2，知AB=AF，AG⊥FB，由CF=CB=1，CG⊥FB，∠AGC=θ，由此能求出二面角A-BF-C的平面角的余弦值．
（3）由點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，分當(dāng)M與F重合，M與E重合時(shí)，當(dāng)M與E，F(xiàn)都不重合三種情況進(jìn)行分類討論，能求出cosθ的取值范圍．

解答：（1）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，∴BC⊥AC，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，
平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE．
（2）解：取FB中點(diǎn)G，連接AG，CG，
∵AF=

AC2+CF2

=2，∴AB=AF，∴AG⊥FB，
∵CF=CB=1，∴CG⊥FB，∴∠AGC=θ，
∵BC=CF，∴FB=

2

，∴CG=

2

2

，AG=

14

2

，
∴cosθ=

CG2+AG2-AC2

2CG•AG

=

7

7

．
（3）解：由（2）知：
①當(dāng)M與F重合時(shí)，cosθ=

7

7

．
②當(dāng)M與E重合時(shí)，過B作BN∥CF，且使BN=CF，
連接EN，F(xiàn)N，則平面MAB∩平面FCB，
∵BC⊥CF，AC⊥CF，∴CF⊥平面ABC，∴BN⊥平面ABC，
∴∠ABC=θ，∴θ=60°，∴cosθ=

1

2

．
③當(dāng)M與E，F(xiàn)都不重合時(shí)，令FM=λ，0＜λ＜

3

，
延長(zhǎng)AM交CF的延長(zhǎng)線于N，連接BN，
∴N在平面MAB與平面FCB的交線上，
∵B在平面MAB與平面FCB的交線上，
∴平面MAB∩平面FCB=BN，
過C作CH⊥NB交NB于H，連接AH，
由（1）知，AC⊥BC，
又∵AC⊥CN，∴AC⊥平面NCB，∴AC⊥NB，
又∵CH⊥NB，AC∩CH=C，∴NB⊥平面ACH，
∴AH⊥NB，∴∠AHC=θ，
在△NAC中，NC=

3

3 -λ

，
從而在△NCB中，CH=

3

(λ- 3 )2+3

，
∵∠ACH=90°，∴AH=

AC2+CH2

=

3 • (λ- 3 )2+4

(λ- 3 )2+3

，
∴cosθ=

CH

AH

=

1

(λ- 3 )2+4

，
∵0＜λ＜

3

，
∴

7

7

＜cosθ＜

1

2

，
綜上所述，cosθ∈[

7

7

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運(yùn)用．