如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a
(1)求直線BC1與AC所成的角;
(2)求直線D1B與平面ABCD所成角的正切值;
(3)求證:平面BDD1⊥平面ACA1
分析:(1)連接AD1,D1C,證明∠D1AC為直線BC1與AC所成的角,即可求得結(jié)論;
(2)利用DD1⊥平面ABCD,可得∠D1DB為直線D1B與平面ABCD所成的角,利用正切函數(shù)可得結(jié)論;
(3)利用線面垂直的判定定理證明AC⊥平面BD1D,再利用面面垂直的判定定理證明平面ACA1⊥平面BD1D.
解答:(1)解:連接AD1,D1C,則
∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴四邊形ABC1D1是平行四邊形
∴A1D1∥DC1,
∴∠D1AC為直線BC1與AC所成的角,
∵△AD1C是等邊三角形,
∴直線BC1與AC所成的角為60°;
(2)解:∵DD1⊥平面ABCD,∴∠D1DB為直線D1B與平面ABCD所成的角,
在Rt△D1DB中,tan∠D1DB=
1
2
=
2
2

∴直線D1B與平面ABCD所成角的正切值為
2
2
;
(3)證明:∵DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD
∴DD1⊥AC
∵BD⊥AC,BD∩DD1=D
∴AC⊥平面BD1D
∵AC?平面ACA1,
∴平面ACA1⊥平面BD1D------(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查空間角,考查面面垂直,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,解題的關(guān)鍵是正確作出空間角.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,問(wèn)球O的表面積.
(1) 如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切,則有S=
 

(2)如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切,則有S=
 

精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn).證明:向量
A1B
B1C
、
EF
是共面向量.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為8,E、F分別為AD1,CD1中點(diǎn),G、H分別為棱DA,DC上動(dòng)點(diǎn),且EH⊥FG.
(1)求GH長(zhǎng)的取值范圍;
(2)當(dāng)GH取得最小值時(shí),求證:EH與FG共面;并求出此時(shí)EH與FG的交點(diǎn)P到直線B1B的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E、F、G分別為棱BC、C1C、B1C1的中點(diǎn),O1、O2分別為四邊形ADD1A1、A1B1C1D1的中心,則下列各組中的四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面上的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是所在棱的三等分點(diǎn),且BF=DE=C1G=C1H=
13
AB

(1)證明:直線EH與FG共面;
(2)若正方體的棱長(zhǎng)為3,求幾何體GHC1-EFC的體積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案