解:(1)a=4時,f(x)=x|x-4|+2x=
,
當x≥4時,f(x)=x
2-2x的增區(qū)間是[4,+∞),無減區(qū)間.
當x<4時,f(x)=6x-x
2增區(qū)間是(-∞,3],減區(qū)間是[3,4],
綜上所述,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[3,4].…(4分)
(2)由題意得對任意的實數(shù)x∈[1,2],f(x)<g(x)恒成立,
即x|x-a|<1,當x∈[1,2]恒成立,即|x-a|<
,-
,
x-
,故只要x-
<a,且a<x+
在x∈[1,2]上恒成立即可,
在x∈[1,2]時,只要x-
的最大值小于a,
且x+
的最小值大于a即可,…(6分)
而當x∈[1,2]時,(1-
)′=1+
>0,x-
為增函數(shù),
;
當x∈[1,2]時,(x+
)′=1-
>0,x+
為增函數(shù),(x+
)
min=2,
所以
.…(10分)
(3)當-2≤a≤2時,f(x)在R上是增函數(shù),
則關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三個不等的實數(shù)根,…(11分)
則當a∈(2,4]時,由f(x)=
,
得x≥a時,f(x)=x
2+(2-a)x,對稱軸x=
,
則f(x)在x∈[a,+∞)為增函數(shù),此時f(x)的值域為[f(a),+∞)=[2a,+∞),
x<a時,f(x)=-x
2+(2+a)x,對稱軸x=
,
則f(x)在x∈(-∞,
]為增函數(shù),此時f(x)的值域為(-∞,
],
f(x)在x∈[
)為減函數(shù),此時f(x)的值域為(2a,
];
由存在a∈(2,4],方程f(x)=tf(a)=2ta有三個不相等的實根,
則2ta∈(2a,
),
即存在a∈(2,4],使得t∈(1,
)即可,
令g(a)=
=
,
只要使t<(g(a))
max即可,而g(a)在a∈(2,4]上是增函數(shù),
∴
,
故實數(shù)t的取值范圍為(1,
);…(15分)
同理可求當a∈[-4,-2)時,t的取值范圍為(1,
);
綜上所述,實數(shù)t的取值范圍為(1,
).…(17分)
分析:(1)a=4時,f(x)=
,由此能求出f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
(2)由題意得對任意的實數(shù)x∈[1,2],f(x)<g(x)恒成立,即x|x-a|<1,當x∈[1,2]恒成立,由此能求出所有的實數(shù)a.
(3)當-2≤a≤2時,f(x)在R上是增函數(shù),則關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三個不等的實數(shù)根;當a∈(2,4]時和當a∈[-4,-2)時,等價轉(zhuǎn)化f(x)的表達式,利用函數(shù)的單調(diào)性能得到實數(shù)t的取值范圍.
點評:本題考查函數(shù)恒成立問題的應用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數(shù)學思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.