已知函數(shù)f(x)=x|x-a|+2x.
(1)若a=4時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)求所有的實數(shù)a,使得對任意x∈[1,2]時,函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)=2x+1圖象的下方;
(3)若存在a∈[-4,4],使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有三個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)t的取值范圍.

解:(1)a=4時,f(x)=x|x-4|+2x=
當x≥4時,f(x)=x2-2x的增區(qū)間是[4,+∞),無減區(qū)間.
當x<4時,f(x)=6x-x2增區(qū)間是(-∞,3],減區(qū)間是[3,4],
綜上所述,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[3,4].…(4分)
(2)由題意得對任意的實數(shù)x∈[1,2],f(x)<g(x)恒成立,
即x|x-a|<1,當x∈[1,2]恒成立,即|x-a|<,-,
x-,故只要x-<a,且a<x+在x∈[1,2]上恒成立即可,
在x∈[1,2]時,只要x-的最大值小于a,
且x+的最小值大于a即可,…(6分)
而當x∈[1,2]時,(1-)′=1+>0,x-為增函數(shù),;
當x∈[1,2]時,(x+)′=1->0,x+為增函數(shù),(x+min=2,
所以.…(10分)
(3)當-2≤a≤2時,f(x)在R上是增函數(shù),
則關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三個不等的實數(shù)根,…(11分)
則當a∈(2,4]時,由f(x)=,
得x≥a時,f(x)=x2+(2-a)x,對稱軸x=,
則f(x)在x∈[a,+∞)為增函數(shù),此時f(x)的值域為[f(a),+∞)=[2a,+∞),
x<a時,f(x)=-x2+(2+a)x,對稱軸x=,
則f(x)在x∈(-∞,]為增函數(shù),此時f(x)的值域為(-∞,],
f(x)在x∈[)為減函數(shù),此時f(x)的值域為(2a,];
由存在a∈(2,4],方程f(x)=tf(a)=2ta有三個不相等的實根,
則2ta∈(2a,),
即存在a∈(2,4],使得t∈(1,)即可,
令g(a)==
只要使t<(g(a))max即可,而g(a)在a∈(2,4]上是增函數(shù),
,
故實數(shù)t的取值范圍為(1,);…(15分)
同理可求當a∈[-4,-2)時,t的取值范圍為(1,);
綜上所述,實數(shù)t的取值范圍為(1,).…(17分)
分析:(1)a=4時,f(x)=,由此能求出f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
(2)由題意得對任意的實數(shù)x∈[1,2],f(x)<g(x)恒成立,即x|x-a|<1,當x∈[1,2]恒成立,由此能求出所有的實數(shù)a.
(3)當-2≤a≤2時,f(x)在R上是增函數(shù),則關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三個不等的實數(shù)根;當a∈(2,4]時和當a∈[-4,-2)時,等價轉(zhuǎn)化f(x)的表達式,利用函數(shù)的單調(diào)性能得到實數(shù)t的取值范圍.
點評:本題考查函數(shù)恒成立問題的應用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數(shù)學思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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