Question

【題目】設f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A.（﹣3，0）∪（3，+∞）
B.（﹣3，0）∪（0，3）
C.（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
D.（﹣∞，﹣3）∪（0，3）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設F（x）=f （x）g（x），當x＜0時，
∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．
∴F（x）在當x＜0時為增函數(shù)．
∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）g （x）=﹣F（x）．
故F（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)．
∴F（x）在（0，+∞）上亦為增函數(shù)．
已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．
構造如圖的F（x）的圖象，可知
F（x）＜0的解集為x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故選D

【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．