Question

（2013•貴陽(yáng)二模）已知函數(shù)f(x)=mx-

m

x

，g(x)=2lnx．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，證明方程f（x）=g（x）有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（3）若x∈（1，e]時(shí)，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）m=2時(shí)，f(x)=2x-

2

x

，求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），從而求出f'（1）得到切線的斜率，求出切點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式可求出切線方程；
（2）m=1時(shí)，令h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx，求出h'（x），判定符號(hào)得到函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，然后判定h(e)•h(

1

e

)的符號(hào)，根據(jù)根的存在性定理可得結(jié)論；
（3）mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，討論x²-1的符號(hào)將m分離出來(lái)，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)的最值，從而求出m的取值范圍．

解答：解：（1）m=2時(shí)，f(x)=2x-

2

x

，f′(x)=2+

2

x2

，f′(1)=4，
切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴切線方程為y=4x-4…（2分）
（2）m=1時(shí)，令h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx，
h′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．…（4分）
又h(e)•h(

1

e

)=-(

1

e

-e+2)2＜0，
∴y=h（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
∴在（0，+∞）內(nèi)f（x）=g（x）有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根     …（6分）
（或說(shuō)明h（1）=0也可以）
（3）mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，則當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，
令G(x)=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，
G′(x)=

-2(x2lnx+lnx+2)

(x2-1)2

，
∵1＜x≤e，∴l(xiāng)nx＞0，∴當(dāng)x∈（1，e]時(shí)G'（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上單調(diào)遞減，
∴G（x）在（1，e]的最小值為G(e)=

4e

e2-1

，
則m的取值范圍是(-∞，

4e

e2-1

)．            …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及根的存在性和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．