設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)(x≥0)到定點(diǎn)F的距離比到y軸的距離大.記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)設(shè)圓M過A(1,0),且圓心M在P的軌跡上,BD是圓M在y軸上截得的弦,當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)弦長BD是否為定值?說明理由;

(3)過F作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S,求四邊形GRHS面積的最小值.

 

【答案】

(1) y2=2x (2) BD=2,即弦長BD為定值 (3)8

【解析】

解:(1)由題意知,所求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡為以F為焦點(diǎn),直線l:x=-為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y2=2x.

(2)是定值.解法如下:設(shè)圓心M,

半徑r=,

圓的方程為+(y-a)2=a2+,

令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),

∴BD=2,即弦長BD為定值.

(3)設(shè)過F的直線GH的方程為y=k,G(x1,y1),H(x2,y2),

由得k2x2-(k2+2)x+=0,

∴x1+x2=1+,x1x2=,

∴|GH|=·=2+,

同理得|RS|=2+2k2.

S四邊形GRHS=(2+2k2)= 2≥8(當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)).

∴四邊形GRHS面積的最小值為8.

 

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