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(本小題滿分14分)

已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是,一條漸近線的方程是.

(Ⅰ)求雙曲線C的方程;

(Ⅱ)若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點M,N,線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為,求的取值范圍.

(Ⅰ)

(Ⅱ)


解析:

本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識,考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法,考查推理運算能力.滿分14分.

(Ⅰ)解:設雙曲線的方程為).由題設得

,解得,所以雙曲線方程為

(Ⅱ)解:設直線的方程為).點的坐標滿足方程組

將①式代入②式,得,整理得

此方程有兩個一等實根,于是,且.整理得.、

由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足

,

從而線段的垂直平分線方程為

此直線與軸,軸的交點坐標分別為.由題設可得.整理得,

將上式代入③式得,整理得,

解得

所以的取值范圍是

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(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當x∈[0,
π
2
]  時,求函數f(x)
的值域.

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(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;

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(本小題滿分14分)已知的圖像在點處的切線與直線平行.

⑴ 求,滿足的關系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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