Question

設(shè)常數(shù)a＞0，(ax2+

1

x

)4的二項展開式中x³的系數(shù)為

3

2

，則1+a+a²+a³+…+aⁿ+…=

2

．

Answer 1

分析：利用二項展開式通項公式T_r+1=c₄^r（ax²）^4-r（-

1

x

）^r，整理后，令x的次數(shù)等于3得到參數(shù)的方程，從而解得a，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式以及數(shù)列的極限即可得到結(jié)論．

解答：解：由二項展開式通項公式T_r+1=c₄^r（ax²）^4-r（-

1

x

）^r，
整理得T_r+1=（-1）^rc₄^ra^4-rx 8-

5r

2

，
令8-

5r

2

=3⇒r=2時，有（-1）²c₄²a²=

3

2

，
∴a=±

1

2

；
∵a＞0
∴a=

1

2

．
∴

lim

n→∞

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查二項式展開式特定項的系數(shù)的求法以及等比數(shù)列求和公式及極限的運算，需要熟記展開式的通項公式，即T_r+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常見題型．