Question

在平面直角坐標系xOy中，過點A(－2，－1)橢圓C∶＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，短軸端點為B1、B2，＝2b2.

(1)求a、b的值；

(2)過點A的直線l與橢圓C的另一交點為Q，與y軸的交點為R.過原點O且平行于l的直線與橢圓的一個交點為P.若AQ·AR＝3OP2，求直線l的方程．

 

Answer 1

（1）a＝2，b＝（2）當k＝1時，直線l的方程為x－y＋1＝0，當k＝－2時，直線l的方程為2x＋y＋5＝0.

【解析】(1)因為F(－c,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，所以＝(c，－b)，＝(c，b)．

因為＝2b2，

所以c2－b2＝2b2.①

因為橢圓C過A(－2，－1)，代入得，＝1.②

由①②解得a2＝8，b2＝2.

所以a＝2，b＝.

(2)由題意，設直線l的方程為y＋1＝k(x＋2)．

由得(x＋2)[(4k2＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.

因為x＋2≠0，所以x＋2＝，即xQ＋2＝.

由題意，直線OP的方程為y＝kx.

由得(1＋4k2)x2＝8.則＝，

因為AQ·AR＝3OP2.所以|xQ－(－2)|×|0－(－2)|＝3.

即×2＝3×.

解得k＝1，或k＝－2.

當k＝1時，直線l的方程為x－y＋1＝0，當k＝－2時，直線l的方程為2x＋y＋5＝0