已知f(x)=
x
1+
1+x
，a，b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，則下列不等式正確的是（　�。�
分析：由于f（x）=
x
1+
1+x
=f(x)=
x•(
1+x
-1)
(1+
1+x
)(
1+x
-1)
=
1+x
-1在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，故只需分析
a+b
2
，
ab
，
2ab
a+b
的大小關(guān)系即可．
解答：解：∵a，b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，
∴
ab
-
2ab
a+b
=
ab
•（1-
2
ab
a+b
）=
ab
•（
a+b-2
ab
a+b
）=
ab
•
(
a
-
b
)2
a+b
＞0，
∴
ab
＞
2ab
a+b
；
又
a+b
2
＞
ab
，
∴
a+b
2
＞
ab
＞
2ab
a+b
；
又f（x）=
x
1+
1+x
，
得f(x)=
x•(
1+x
-1)
(1+
1+x
)(
1+x
-1)
=
1+x
-1，觀察知，函數(shù)在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f(
a+b
2
)＞f(
ab
)＞f(
2ab
a+b
)．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，難點(diǎn)在于判斷函數(shù)f（x）=
x
1+
1+x
為單調(diào)遞增函數(shù)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=
x
1-x
，設(shè)f1（x）=f（x），fn（x）=fn-1[fn-1（x）]（n＞1，n∈N*），則f3（x）和fn（x）的表達(dá)式分別為（　�。�
A、
x
1-4x
，
x
1-2n-1x
B、
x
1-8x
，
x
1-2nx
C、
x
1-2x
，
x
1-2n-2x
D、
x
1-x
，
x
1-2n-3x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義運(yùn)算：
.
ab
cd
.
=ad-bc
（1）若已知k=1，求解關(guān)于x的不等式
.
x1
1x-k
.
＜0
（2）若已知f(x)=
.
x1
-1k-x
.
，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=
x
1+x
，
（1）求f(x)+f(
1
x
)的值；
（2）求f(1)+f(2)+…+f(5)+f(1)+f(
1
2
)+…+f(
1
5
)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=
x
1+x
，數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，f（1）為公比的等比數(shù)列；數(shù)列{bn}中b1=
1
2
，且bn+1=f（bn）
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn=an(
1
bn
-1)，求{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n．
（3）證明：對(duì)?n∈N+，有1≤Tn＜4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出以下五個(gè)命題：
①任意n∈N*，（n2-5n+5）2=1．
②已知f(x)=
x
1+x2
，則
f(f(f(…)))
 n個(gè)
=
x
1+nx2
．
③設(shè)全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，則CU（A∪B）={1，2，3，5，6}．
④定義在R上的函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，2）上存在唯一零點(diǎn)的充要條件是f（1）•f（2）＜0．
⑤已知a＞0，b＞0，則
1
a
+
1
b
+2
ab
的最小值是4．
其中正確命題的序號(hào)是
②⑤
②⑤
．

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