Question

已知函數f（x）=ax²+bx，f（2）=0，且f（x）≤x恒成立
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在常數p，q，使f（x）的定義域和值域分別是[p，q]和[2p，2q]，如果存在，求出p，q．如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=0可得b=-2a，代入f（x）≤x，根據不等式恒成立可求a值，從而可得b值；
（2）假設存在滿足條件的p，q，分p＜q≤1，1≤p＜q，p＜1＜q三種情況討論求得f（x）的最大值、最小值，分別令其等于2q，2p，解出即可；

解答：解：（1）由f（2）=0，得4a+2b=0，∴b=-2a，
則f（x）=ax²-2ax，
f（x）≤x即ax²-2ax≤x，∴ax²-（2a+1）x≤0，
當a=0時不等式化為-x≤0，不恒成立，
當a≠0時，有

a＜0 (2a+1)2≤0

，解得a=-

1

2

，
∴b=1，
∴f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）假設存在常數p，q復合條件，則
①當p＜q≤1時，f（x）在[p，q]上遞增，有

- 1 2 p2+p=2p - 1 2 q2+q=2q

，解得

p=-2 q=0

；
②當1≤p＜q時，f（x）在[p，q]上遞減，有

- 1 2 p2+p=2q - 1 2 q2+q=2p

，此時無解；
③當p＜1＜q時，f（x）在[p，q]上的最大值為f（1）=

1

2

=2q，解得q=

1

4

，矛盾；
綜上，存在p=-2，q=0滿足條件．

點評：本題考查二次函數在閉區(qū)間上的最值、恒成立問題，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，屬中檔題．