Question

（本小題滿分12分）

（Ⅰ）1證明兩角和的余弦公式；

      2由推導(dǎo)兩角和的正弦公式.

（Ⅱ）已知△ABC的面積，且，求cosC.

Answer 1

本小題主要考察兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識及運算能力。

解：(1)①如圖，在執(zhí)教坐標系xOy內(nèi)做單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P₁，終邊交⊙O于P₂；角β的始邊為OP₂，終邊交⊙O于P₃；角－β的始邊為OP₁，終邊交⊙O于P₄.

則P₁(1,0),P₂(cosα,sinα)

P₃(cos(α＋β),sin(α＋β)),P₄(cos(－β),sin(－β))  

由P₁P₃＝P₂P₄及兩點間的距離公式，得

[cos(α＋β)－1]²＋sin²(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]²＋[sin(－β)－sinα]²

展開并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分

②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα

sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

           ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

           ＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分

(2)由題意，設(shè)△ABC的角B、C的對邊分別為b、c

則S＝bcsinA＝

＝bccosA＝3＞0 

∴A∈(0, ),cosA＝3sinA

又sin²A＋cos²A＝1，∴sinA＝,cosA＝

由題意，cosB＝,得sinB＝

∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝ 

故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………………12分