解:(1)當a=-1時,f(x)=-lnx+x-3,f′(x)=
(x>0)----------(1分)
令f′(x)>0,解得x∈[1,+∞);令f′(x)<0,解得x∈(0,1]
所以,f(x)的單調增區(qū)間為[1,+∞);減區(qū)間為(0,1]-----------------(3分)
所以f(x)
min=f(1),所以f(x)≥f(1);-----------------------(4分)
(2)∵f′(x)=
∴f′(2)=-
得a=-2,∴f(x)=-2lnx+2x-3
∴g(x)=x
3+(
+2)x
2-2x,
∴g′(x)=3x
2+(m+4)x-2(6分)
∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數,且g′(0)=-2
∴
(8分)
由題意知:對于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,
所以有:
∴-
<m<-9(10分)
(3)猜想:
×
×
<
(n≥2,n∈N
*)-------------(11分)
證明如下:由(1)可知
當x∈(1,+∞)時,f(x)>f(1),即-lnx+x-1>0,
∴l(xiāng)nx<x-1對一切x∈(1,+∞)成立,(12分)
∵n≥2,n∈N
*,則有0<lnn<n-1,
∴0<
<
-----------(13分)
∴
×
×
<
=
----------(14分)
分析:(1)利用導數,可得函數的單調區(qū)間;
(2)點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,即切線斜率為1,即f'(2)=1,可求a值,代入得g(x)的解析式,由t∈[1,2],且g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數得不等式組,從而可求m的范圍;
(3)利用前面的結論構造函數,利用函數的單調性,可得0<
<
,從而可得結論.
點評:本題考查利用函數的導數來求函數的單調區(qū)間,考查函數導數的幾何意義的考查,屬于中檔題.