Question

已知函數(shù)在處存在極值.

(1)求實數(shù)的值；

(2)函數(shù)的圖像上存在兩點A，B使得是以坐標(biāo)原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在軸上，求實數(shù)的取值范圍；

(3)當(dāng)時，討論關(guān)于的方程的實根個數(shù).

 

Answer 1

【答案】

(1) .（2）的取值范圍是.（3）①當(dāng)或時，方程有兩個實根；②當(dāng)時，方程有三個實根；③當(dāng)時，方程有四個實根.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)得，將代入解方程組即得.(2) 由（1）得根據(jù)條件知A,B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè).接下來根據(jù)大于等于1和小于1分別求解.(3)由方程

知，顯然0一定是方程的根，所以僅就時進行研究，這時方程等價于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象即可得方程的要的個數(shù).

試題解析：（1）當(dāng)時，. 1分

因為函數(shù)在處存在極值，所以

解得. 4分

(2) 由（I）得

根據(jù)條件知A,B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè).

若，則，

由是直角得，，即，

即.此時無解； 6分

若，則. 由于AB的中點在軸上，且是直角，所以B點不可能在軸上，即. 同理有，即，.

因為函數(shù)在上的值域是，

所以實數(shù)的取值范圍是. 8分

（3）由方程，知，可知0一定是方程的根， 10分

所以僅就時進行研究：方程等價于

構(gòu)造函數(shù)

對于部分，函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線的一部分，

當(dāng)時取得最大值，其值域是；

對于部分，函數(shù)，由，

知函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以，①當(dāng)或時，方程有兩個實根；

②當(dāng)時，方程有三個實根；

③當(dāng)時，方程有四個實根. 14分

考點：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、方程的根.