Question

已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=

3

2

x與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是M，點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點(diǎn)F₂，橢圓C另一個(gè)焦點(diǎn)是F₁，且

MF1

•

MF2

=

9

4

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l過點(diǎn)（-1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求△F₂PQ的內(nèi)切圓面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)直線y=

3

2

x與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是M，點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點(diǎn)F₂，可知焦點(diǎn)在x軸上且M點(diǎn)坐標(biāo)（c，

3

2

c）．F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．利用

MF1

•

MF2

=

9

4

，可得c=1，設(shè)橢圓C方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
M點(diǎn)代入橢圓C方程，即可求得橢圓C方程；
（Ⅱ）要使△F₂PQ的內(nèi)切圓面積最大，即使△F₂PQ的面積最大，根據(jù)F₂F₁為定長(zhǎng)，可得當(dāng)且僅當(dāng)直線L過（-1，0），與x軸垂直時(shí)△F₂PQ的面積最大．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)直線y=

3

2

x與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是M，點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點(diǎn)F₂，
可知焦點(diǎn)在x軸上且M點(diǎn)坐標(biāo)（c，

3

2

c）．F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
∵

MF1

•

MF2

=

9

4

，
∴

9

4

c=

9

4

，∴c=1．設(shè)橢圓C方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
M點(diǎn)坐標(biāo)（1，

3

2

）代入橢圓C方程得

1

a2

+

9 4

b2

=1，
∵c=

a2-b2

-1，
∴a=2，b=

3

．
∴橢圓C方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）要使△F₂PQ的內(nèi)切圓面積最大，即使△F₂PQ的面積最大，
∵F₂F₁為定長(zhǎng)，
∴當(dāng)且僅當(dāng)直線L過（-1，0），與x軸垂直時(shí)△F₂PQ的面積最大
此時(shí)P（-1，

3

2

），Q（-1，-

3

2

）
∴|F₂P|=|F₂Q|=

5

2

，|PQ|=3
設(shè)△F₂PQ的內(nèi)切圓半徑為r，則

1

2

×3×2=

1

2

×(3+

5

2

+

5

2

)r
∴r=

3

4

，其面積S=

9π

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形的內(nèi)切圓的面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．