Question

已知四棱錐中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．

（I）求證：平面PBD⊥平面PAC；

（II）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，M為OC中點(diǎn)，若二面角O﹣PM﹣D的正切值為，求a：b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：

平面與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．

專題：

綜合題；空間向量及應(yīng)用．

分析：

（I）根據(jù)線面垂直的判定，證明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，證明平面PBD⊥平面PAC．

（II）過(guò)O作OH⊥PM交PM于H，連HD，則∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值為，即可求a：b的值．

解答：

（I）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD

又ABCD為菱形，所以AC⊥BD，

因?yàn)镻A∩AC=A，所以BD⊥平面PAC

因?yàn)锽D⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．

（II）解：過(guò)O作OH⊥PM交PM于H，連HD

因?yàn)镈O⊥平面PAC，由三垂線定理可得DH⊥PM，所以∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角

又，且

從而

∴

所以9a²=16b²，即．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．