Question

按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為m元，則他的滿意度為；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為n元，則他的滿意度為。如果一個(gè)人對(duì)兩種交易（賣出或買進(jìn)）的滿意度分別為h₁和h₂，則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為，現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為m_A元和m_B元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為h_甲，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為h_乙，
(1)求h_甲和h_乙關(guān)于m_A，m_B的表達(dá)式；當(dāng)m_A=m_B時(shí)，求證：h_甲=h_乙；
(2)設(shè)m_A=m_B，當(dāng)m_A，m_B分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？
(3)記(2)中最大的綜合滿意度為h₀，試問(wèn)能否適當(dāng)選取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立？試說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)，
當(dāng)m_A=m_B時(shí)，
，
，
顯然h_甲=h_乙。
(2)當(dāng)m_A=m_B時(shí)，
，
由，得，
故當(dāng)，即m_B=20，m_A=12時(shí)，甲、乙兩人同時(shí)取到最大的綜合滿意度為。
(3)由(2)知，
由，
得，
令，則，即，
同理，由，得；
另一方面，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)x，即時(shí)取等號(hào)，
所以不能適當(dāng)選取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立．