Question

已知命題P：|x|+|x+

1

2

|＞a對(duì)x∈R恒成立；
命題Q：已知集合M={x|x²+（a+2）x+1=0}∩{x|x＞0}=φ，若P∧Q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用P∧Q為假，則P，Q至少有一個(gè)為假命題，可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：命題P中，(|x|+|x+

1

2

|)min=

1

2

，故命題P為真時(shí)a＜

1

2

．
命題Q中，當(dāng)M=φ時(shí)，由△＜0得-4＜a＜0；
當(dāng)M≠φ時(shí)，△≥0，x₁+x₂≤0，x₁x₂=1＞0得a≥0．
故命題Q為真時(shí)，a＞-4；則P∧Q為真時(shí)，-4＜a＜

1

2

．
故P∧Q為假時(shí)a的取值范圍為(-∞，-4]∪[

1

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了復(fù)合命題的真假與簡單命題真假之間的關(guān)系．