Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項(xiàng)和滿足：S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），令。
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若f（x）=2x-1，求證：；
（3）令（a>0），問是否存在正實(shí)數(shù)a同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件？
①對任意n∈N₊，都有；
②對任意的m∈（0，），均存在n₀∈N，使得當(dāng)n≥n₀時(shí)總有A_n>m，若存在，求出所有的a，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由得，
即，移項(xiàng)得，
∴，這個(gè)n-2等式疊加可得，

又a₂=5，
∴，經(jīng)驗(yàn)證也適合該式，故；
（2）由（1）知，
又，
∴
，
故，
得證；
（3）由a>0且根據(jù)第（2）問的啟示，下面a對分三種情況討論：
1）當(dāng)a=2時(shí)，由（2）知，滿足條件①，
另一方面，假設(shè)存在，使得當(dāng)時(shí)成立，
即成立，由此解得，設(shè)的整數(shù)部分為A，
取，則當(dāng)時(shí)必有成立，滿足條件②，故a=2時(shí)符合題意；
2）當(dāng)a>2時(shí)，，由a>2得，
∴（當(dāng)n=1時(shí)取“=”），
∴，
∴，
令，由（2）知，當(dāng)時(shí)，
∴，
又a>2，
∴，在區(qū)間內(nèi)取一個(gè)實(shí)數(shù)B，必存在一個(gè)，使得，這時(shí)已不滿足條件①，
故a>2時(shí)不符合題意，
3）當(dāng)0<a<2時(shí)，
，
∴，
由2）知，即，
而此時(shí)，
∴，在區(qū)間內(nèi)取一個(gè)實(shí)數(shù)C，這時(shí)不存在使得，否則與矛盾，此時(shí)不滿足條件②，
故0<a<2時(shí)不符合題意，
綜合1）， 2）， 3）可知，存在正實(shí)數(shù)a=2符合題意。