Question

【題目】橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為B，且滿(mǎn)足

Ⅰ求橢圓的離心率e；

Ⅱ設(shè)P為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，問(wèn)是否存在過(guò)的直線與該圓相切？若存在，求出其斜率；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在滿(mǎn)足條件的直線，斜率為.

【解析】

根據(jù)可得，即可求出橢圓的離心率，

由已知得，故橢圓方程為，設(shè)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出線段PB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系可得．

解：，右頂點(diǎn)為B，

為等腰三角形，

，

由，

橢圓的離心率．

由已知得，．

故橢圓方程為，設(shè)由，，

，，

，

，

又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故，

由以上兩式可得，

點(diǎn)P不在橢圓的頂點(diǎn)，

，，

故，

設(shè)圓的圓心為，則，，

則圓的半徑，

假設(shè)存在過(guò)的直線滿(mǎn)足題設(shè)條件，并設(shè)該直線的方程為，

由相切可知，

即得，解得

故存在滿(mǎn)足條件的直線．