Question

設(shè)拋物線M方程為y²=2px（p＞0），其焦點(diǎn)為F，P（a，b）（a≠0）為直線y=x與拋物線M的一個(gè)交點(diǎn)，|PF|=5
（1）求拋物線的方程；
（2）過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，試問在拋物線M的準(zhǔn)線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QAB為等邊三角形，若存在求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立方程組可求得P坐標(biāo)，根據(jù)|PF|=5及拋物線定義即可求得p值；
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)易驗(yàn)證不合題意；②當(dāng)直線存在斜率時(shí)設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組消y后可求AB中點(diǎn)M坐標(biāo)，設(shè)存在Q（-1，m），由K_AB•K_QM=-1，Q到直線l的距離為d=

3

2

|AB|，聯(lián)立即可解得k，m值，從而可判斷存在性；

解答：解：（1）

y=x y2=2px

⇒

x=2p y=2p

或

x=0 y=0

（舍去），
∴P（2p，2p），
∵|PF|=5，∴2p+

p

2

=5，解得p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x；
（2）①若直線l的斜率不存在，則Q只可能為（-1，0），此時(shí)△QAB不是等邊三角形，舍去；
②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) y2=4x

⇒k²x²-（2k²+4）x+k²=0，x₁+x₂=2+

4

k2

，
設(shè)存在Q（-1，m），AB的中點(diǎn)為M（1+

2

k2

，

2

k

），設(shè)Q到直線l的距離為d，
有題意可知：

2 k -m

2 k2 +2

=-

1

k

①，d=

3

2

|AB|⇒

|2k+m|

k2+1

=

3

2

|4+

4

k2

|②，
由①可得：m=

2

k3

+

4

k

，③
③代入②得：（2k+

2

k3

+

4

k

）²=（k²+1）•

3

4

•

16(k2+1)2

k4

，
化簡(jiǎn)得：

4(k2+1)4

k6

=12•

(k2+1)3

k4

⇒k²=

1

2

，
將k=±

2

2

代入③得m=±8

2

，
∴Q（-1，±8

2

）為所求點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及拋物線方程的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，解決本題的關(guān)鍵是充分利用正三角形的性質(zhì)列方程組．