Question

已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f??(x)＝6x－2，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)(n，S_n)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖像上.（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)b_n＝，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得T_n＜對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m；

Answer 1

(Ⅰ) a_n＝6n－5（n∈N*）   (Ⅱ) 10

解析:

（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx (a≠0) ，則 f`(x)＝2ax＋b，由于f`(x)＝6x－2，

         得a＝3 ，b＝－2，所以f(x)＝3x²－2x.，又因?yàn)辄c(diǎn)(n，S_n)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖像上，所以S_n＝3n²－2n，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－[3(n－1)²－2(n－1)]＝6n－5，

當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5（n∈N*）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知b_n＝＝＝(－)，

故T_n＝,\s\up5(ni=1b_i＝[(1－)＋(–)＋…＋(－)]＝(1–），

因此，要使(1－）＜（n∈N*）成立的m，必須且僅須滿(mǎn)足≤，即m≥10，所以滿(mǎn)足要求的最小正整數(shù)m為10.