Question

15、設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域分別為D_J，D_E．且D_J?D_E，若對(duì)于任意x∈D_J，都有g(shù)（x）=f（x），則稱函數(shù)g（x）為f（x）在D_E上的一個(gè)延拓函數(shù)．設(shè)f（x）=xlnx（x＞0），g（x）為f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一個(gè)延拓函數(shù)，且g（x）是奇函數(shù)，則g（x）=

xln|x|

；設(shè)f（x）=2^x-1（x≤0），g（x）為f（x）在R上的一個(gè)延拓函數(shù)，且g（x）是偶函數(shù)，則g（x）=

2^-|x|-1

．

Answer 1

分析：利用題目提供的信息，可得g（x）在D_J上的解析式，然后通過(guò)函數(shù)的奇偶性可求得其在對(duì)稱區(qū)間上解析式，綜合結(jié)論即可得答案．

解答：解：∵若f（x）=xlnx（x＞0），g（x）為f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一個(gè)延拓函數(shù)
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=f（x）=xlnx    又∵g（x）是奇函數(shù)∴當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0∴f（-x）=（-x）ln（-x）=-xln（-x）=-f（x）
∴f（x）=xln（-x），x＜0  綜上當(dāng)x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時(shí)，f（x）=xln|x|
若f（x）=2^x-1（x≤0），g（x）為f（x）在R上的一個(gè)延拓函數(shù)∴當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）=f（x）=2^x-1∵g（x）是偶函數(shù)
∴當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0∴g（-x）=g（x）=2^-x-1  x＞0    綜上g（x）=2^-|x|-1
故答案為：xln|x；|2^-|x|-1

點(diǎn)評(píng)：本題是個(gè)新定義題，主要考查利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法，在解題時(shí)注意對(duì)于新定義的理解，是個(gè)中檔題．