Question

有一同學(xué)在研究方程x³+x²-1=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，將方程等價(jià)轉(zhuǎn)換為x2=

1

x+1

后，方程的解可視為函數(shù)y=x²的圖象與函數(shù)y=

1

x+1

的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．結(jié)合該同學(xué)的解題啟示，方程

x

|sin

π

2

x|=x-

x

的解的個(gè)數(shù)為

2

個(gè)．

Answer 1

分析：先將方程等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)的定義域：[1，+∞），|sin

π

2

x|≤1，構(gòu)造新函數(shù) g（x）=

x

-1-|sin

π

2

x|，考查其零點(diǎn)區(qū)間，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)法求解．

解答：解：由題意，x≠0時(shí)，方程

x

|sin

π

2

x|=x-

x

，可化為|sin

π

2

x|=

x

-1
定義域：[1，+∞），|sin

π

2

x|≤1，
設(shè) g（x）=

x

-1-|sin

π

2

x|，故 x＞2時(shí)，g（x）＞0；
x=2 時(shí)，g（2）=1；g（1）=-1，故實(shí)數(shù)解僅在（1，2）內(nèi)獲得；
在（1，2）內(nèi)，g（x）=

x

-1-sin

π

2

x，g'（x）=

1

2 x

-

π

2

cos

π

2

x＞0，（兩部分全是正的）得到g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程|sin

π

2

x|=

x

-1的實(shí)數(shù)解僅有一個(gè)
當(dāng)x=0時(shí)，方程成立
故答案為2

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是類(lèi)比推理，主要考查方程解的個(gè)數(shù)，由于是超越方程，利用了函數(shù)的單調(diào)性求解，關(guān)鍵是問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化．