已知雙曲線的漸近線的方程為2x±3y=0,
(1)若雙曲線經(jīng)過P(,2),求雙曲線方程;
(2)若雙曲線的焦距是2,求雙曲線方程;
(3)若雙曲線頂點間的距離是6,求雙曲線方程.
(1)(2)=1或(3)=1或
方法一 (1)由雙曲線的漸近線方程y=±x及點P(,2)的位置可判斷出其焦點在y軸上,(a>0,b>0)
故可設雙曲線方程為.
依題意可得
故所求雙曲線方程為.
(2)若焦點在x軸上,可設雙曲線方程為.
依題意
此時所求雙曲線方程為=1.
若焦點在y軸上,可設雙曲線方程為.
依題意
此時所求雙曲線方程為.
故所求雙曲線方程為=1或.
(3)若焦點在x軸上,則a=3,且=.
∴a=3,b=2,雙曲線方程為=1.
若焦點在y軸上,則a=3,且=.
∴a=3,b=,雙曲線方程為.
故所求雙曲線方程為=1或.
方法二 由雙曲線的漸近線方程=0,
可設雙曲線方程為(≠0).
(1)∵雙曲線經(jīng)過點P(,2),
∴=,即=-,
故所求雙曲線方程為=1.
(2)若>0,則a2=9,b2=4,c2=a2+b2=13.
由題設2c=2,則13=13,即=1.
此時,所求雙曲線方程為=1.
若<0,則a2=-4,b2=-9,c2=a2+b2=-13.
由題設2c=2,得=-1.
此時,所求雙曲線方程為=-1.
故所求雙曲線方程為=1或=1.
(3)若>0,則a2=9,由題設知2a=6.
∴=1,此時所求雙曲線方程為=1.
若<0,則a2=-4,由題設知2a=6,知=-.
此時所求雙曲線方程為.
故所求雙曲線方程為=1或.
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