Question

若關(guān)于x的方程lg（ax）=2lg（x+3）有兩個不等實根，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

解：若a=0，則lg（ax）無意義，此時方程lg（ax）=2lg（x+3）無實根；
若a＞0，則方程lg（ax）=2lg（x+3）有兩個不等實根，即
ax=（x+3）²有兩個不等正根，
則，
解得：a＞12
若a＜0，則方程lg（ax）=2lg（x+3）有兩個不等實根，即
ax=（x+3）²有兩個不等負(fù)根，
則，
解得：a＜0
綜上滿足條件的實數(shù)a的范圍a＜0，或a＞12
分析：由于a出現(xiàn)在真數(shù)位置，故我們可以對a分大于0，等于0，小于0三種情況進(jìn)行討論，然后利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為整式方程根的個數(shù)問題，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為整式方程根的個數(shù)問題，是解答本題的關(guān)鍵．