Question

【題目】某學(xué)校為了解該校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)科學(xué)習(xí)情況，對(duì)廣一�？荚嚁�(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，從中抽取了n 名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（該校全體學(xué)生的成績(jī)均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在[70，90）內(nèi)的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示．
根據(jù)上級(jí)統(tǒng)計(jì)劃出預(yù)錄分?jǐn)?shù)線，有下列分?jǐn)?shù)與可能被錄取院校層次對(duì)照表為表（ c ）．

分?jǐn)?shù)	[50，85]	[85，110]	[110，150]
可能被錄取院校層次	專(zhuān)科	本科	重本

（1）求n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為概率，若在該校高三年級(jí)學(xué)生中任取3 人，求至少有一人是可能錄取為重本層次院校的概率；
（3）在選取的樣本中，從可能錄取為重本和專(zhuān)科兩個(gè)層次的學(xué)生中隨機(jī)抽取3 名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用ξ表示所抽取的3 名學(xué)生中為重本的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，樣本容量

解得

（2）解：成績(jī)能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的人數(shù)為50×（0.014+0.01+0.006）=15人，抽取的50人中成績(jī)能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的頻率是 ，故從該校高三年級(jí)學(xué)生中任取1人的概率為

記該校高三年級(jí)學(xué)生中任取3人，至少有一人能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的事件為E；

則

（3）解：成績(jī)能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的人數(shù)為15人，成績(jī)能被專(zhuān)科學(xué)校錄取的人數(shù)為50×（0.004+0.006）+2=7人，

故隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3

所以， ， ， ，

故隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望

【解析】（1）由題意可知，樣本容量n= ，再根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出x，y．（2）成績(jī)能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的人數(shù)為50×（0.014+0.01+0.006）人，抽取的50人中成績(jī)能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的頻率是 ，故從該校高三年級(jí)學(xué)生中任取1人的概率為 ．記該校高三年級(jí)學(xué)生中任取3人，至少有一人能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的事件為E；進(jìn)而得出P（E）=1﹣ 即可得出．（3）成績(jī)能被重點(diǎn)大學(xué)錄取的人數(shù)為15人，成績(jī)能被專(zhuān)科學(xué)校錄取的人數(shù)為50×（0.004+0.006）+2=7人，可得隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，再利用超幾何分布列即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．