Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線W的頂點在原點，其焦點F在x軸的正半軸上，過點F作x 軸的垂線與W交于A、B兩點，且點A在第一象限，|AB|=8，過點B作直線BC與x軸交于點T（t，0）（t＞2），與拋物線交于點C．
（1）求拋物線W的標準方程；
（2）若t=6，曲線G：x²+y²-2ax-4y+a²=0與直線BC有公共點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若|OB|²+|OC|²≤|BC|²，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)拋物線是標準方程可確定焦點的位置，設(shè)拋物線的方程為y²=2px，再由，|AB|=8求得p值即可得到標準方程．
（2）若t=6即T（6，0），又B（2，-4），寫出直線BC的方程為x-y-6=0，曲線G：x²+y²-2ax-4y+a²=0與直線BC有公共點說明圓心到直線的距離不大于半徑，從而求得實數(shù)a的取值范圍．
（3）直線BT 的方程為，代入拋物線方程y²=8x，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合|OB|²+|OC|²≤|BC|²，∠BOC為鈍角或直角，利用向量的數(shù)量積解得2＜t≤8最后即可救是ABC的面積最大值．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的方程為y²=2px，（p＞0）
令，得y²=p²
所以2p=|AB|=8
拋物線的方程為y²=8x．…（4分）
（2）若t=6即T（6，0），又B（2，-4），則直線BC的方程為x-y-6=0…（5分）
曲線G：（x-a）²+（y-2）²=4，是以（a，2）為圓心，2為半徑的圓      …（6分）
由題意，解得．…（8分）
（3）直線BT 的方程為，代入拋物線方程y²=8x，得：
2x²-（t²+4）x+2t²=0
因為t＞2，所以△=t⁴-8t²+16=（t²-4）²＞0．…（9分）
因為x=2是這個方程的一個根，設(shè)C（x_C，y_C）根據(jù)韋達定理2x_C=t²，所以
再由拋物線方程可得y_C=2t，即點．…（10分）
因為|OB|²+|OC|²≤|BC|²，所以∠BOC為鈍角或直角
所以，即2x_C-4y_C≤0，t²-8t≤0，且t＞2，解得2＜t≤8．…（12分）
ABC的面積S_△ABC=
所以當(dāng)t=8時，S_△ABC最大值為120．…．（14分）
點評：本題主要考查拋物線的標準方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系等知識．是中檔題．