Question

【題目】給定數(shù)列，記該數(shù)列前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為，該數(shù)列后項(xiàng)，， …..，中的最小項(xiàng)為，.

（1）對于數(shù)列：3，4，7，1，求出相應(yīng)的，，；

（2）是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意，有，其中且，

①設(shè)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列；

②若數(shù)列對應(yīng)的滿足：對任意的正整數(shù)恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列不是等比數(shù)列；②.

【解析】

（1）根據(jù)，的定義可求相應(yīng)的，，.

（2）根據(jù)題設(shè)的遞推關(guān)系可得，從而得到，根據(jù)是否為零點(diǎn)可判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，而根據(jù)以及，的定義可得數(shù)列的前項(xiàng)單調(diào)遞增，故可得的取值范圍.

解：（1），，；

，，；

，，.

（2）①當(dāng)時，，所以；

當(dāng)時，由，則，

兩式相減得，即，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時，，故，

所以數(shù)列滿足，

即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；

當(dāng)時，，故，數(shù)列不是等比數(shù)列.

②由①知，當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

又，

，

由于，

所以由，可得，.

所以對任意的正整數(shù)恒成立，

即數(shù)列的前項(xiàng)單調(diào)遞增是題設(shè)成立的必要條件，易知.

因?yàn)?/span>，，

所以.

當(dāng)時，由，得，解得，

此時，不符合，舍去；

當(dāng)，由，得，解得，

此時，符合.

綜上所述，的取值范圍是.