【題目】如圖，多面體是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）沿平面切除一部分所得，其中平面為原正三棱柱的底面，，點(diǎn)D為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

（1）設(shè)與交于點(diǎn)E，連接、，由題意可得四邊形是正方形，且，再由點(diǎn)D為的中點(diǎn)，平行且等于，求得CD，同理求得，得，可得，由線面垂直的判定可得；
（2）取BC的中點(diǎn)O，連接AO，可得AO⊥BC，由正棱柱的性質(zhì)可得AO⊥平面，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量、、分別為x、y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面CBD與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的平面角的余弦值.

(1)設(shè)與交于點(diǎn)E，連接、.

∵多面體是正三棱柱沿平面切除部分所得，，

∴四邊形是正方形，且.

∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，平行且等于，

∴.

同理，

∴.

∵E為的中點(diǎn)，

∴.

又∵，，

∴平面；

(2)取的中點(diǎn)O，連接.

∵為正三角形，.

由正棱柱的性質(zhì)可得，平面平面，

且平面平面，

∴平面.

以點(diǎn)O為原點(diǎn)，向量、、分別為x、y，z軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，

，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，

令，得，，即.

由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為.

，

又∵二面角的平面角為銳角，

∴二面角的平面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】對(duì)于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束．

（1）試問和經(jīng)過不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫出經(jīng)過“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；

（2）求經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件；

（3）證明：一定能經(jīng)過有限次“變換”后結(jié)束．

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，，，，為的中點(diǎn).

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【題目】下列命題中錯(cuò)誤的是( )

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C.命題“若,則或”的否命題為“若,則且”

D.命題:,,則為,

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【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值;

（2）若為整數(shù),,且,不等式成立，求的最大值.

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【題目】已知F1，F2為橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，且|F1F2|＝2，點(diǎn)在E上.

（1）求E的方程；

（2）直線l與以E的短軸為直徑的圓相切，l與E交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷O與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

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【題目】已知圓的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求圓的普通方程與的直角坐標(biāo)方程；

（2）點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，由向圓引切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值.

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【題目】某人某天的工作是駕車從地出發(fā)，到兩地辦事，最后返回地，,三地之間各路段行駛時(shí)間及擁堵概率如下表

路段

正常行駛所用時(shí)間（小時(shí)）

上午擁堵概率

下午擁堵概率

1

0．3

0．6

2

0．2

0．7

3

0．3

0．9

若在某路段遇到擁堵，則在該路段行駛時(shí)間需要延長1小時(shí)．

現(xiàn)有如下兩個(gè)方案：

方案甲：上午從地出發(fā)到地辦事然后到達(dá)地，下午從地辦事后返回地；

方案乙：上午從地出發(fā)到地辦事，下午從地出發(fā)到達(dá)地，辦完事后返回地．

（1）若此人早上8點(diǎn)從地出發(fā)，在各地辦事及午餐的累積時(shí)間為2小時(shí)，且采用方案甲，求他當(dāng)日18點(diǎn)或18點(diǎn)之前能返回地的概率．

（2）甲乙兩個(gè)方案中，哪個(gè)方案有利于辦完事后更早返回地？請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某市管轄的海域內(nèi)有一圓形離岸小島，半徑為1公里，小島中心O到岸邊AM的最近距離OA為2公里.該市規(guī)劃開發(fā)小島為旅游景區(qū)，擬在圓形小島區(qū)域邊界上某點(diǎn)B處新建一個(gè)浴場，在海岸上某點(diǎn)C處新建一家五星級(jí)酒店，在A處新建一個(gè)碼頭，且使得AB與AC滿足垂直且相等，為方便游客，再建一條跨海高速通道OC連接酒店和小島，設(shè).

（1）設(shè)，試將表示成的函數(shù)；

（2）若OC越長，景區(qū)的輻射功能越強(qiáng)，問當(dāng)為何值時(shí)OC最長，并求出該最大值.

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