已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為的正方形(記為)
(Ⅰ)求橢圓的方程
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)(包括邊界)時(shí),求直線斜率的取值范圍
(Ⅰ) 橢圓的方程為;(Ⅱ)直線斜率的取值范圍為.
【解析】
試題分析:(I)求橢圓的方程,設(shè)出橢圓的方程,根據(jù)正方形的面積為,求出橢圓中參數(shù)的值且判斷出參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出的值,從而得到橢圓的方程.(II)設(shè)出直線的方程,將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,利用二次方程的韋達(dá)定理,可得到弦中點(diǎn)的坐標(biāo),當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)部(包括邊界),得到中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的不等關(guān)系,即,從而可求的的范圍.
試題解析:(Ⅰ)依題意,設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0),焦距為2c,
由題設(shè)條件知,a2=8,b=c, 所以b2=a2=4
故橢圓C的方程為=1 (4分)
(Ⅱ)橢圓C的左準(zhǔn)線方程為x=-4,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,0),
顯然直線l的斜率k存在,所以直線的方程為y=k(x+4)。
如圖,設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),線段MN的
中點(diǎn)為G(x0,y0), 由,
得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0 ① (6分)
由D=(16k2)2-4(1+2k2)(32k2-8)>0
解得<k< ② (7分)
因?yàn)閤1,x2是方程①的兩根,所以x1+x2=,
于是x0==,y0=k(x0+4)= (8分)
∵x0=≤0,所以點(diǎn)G不可能在y軸的右邊. (9分)
又直線F1B2,F1B1方程分別為y=x+2,y=-x-2
所以點(diǎn)G在正方形Q內(nèi)(包括邊界)的充要條件為
即 (10分)
解得≤k≤,此時(shí)②也成立. (12分)
故直線l斜率的取值范圍是[,]. (13分)
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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