Question

如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求AB₁與平面BDD₁B₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由DD₁⊥面AC，知DD₁⊥AC，由DD₁⊥BD，能夠證明AC⊥平面BDD₁B₁．
（Ⅱ）利用AC⊥平面BDD₁B₁，可得∠AB₁O為直線AB₁與平面BDD₁B₁所成的角，通過(guò)解三角形可得結(jié)論；

解答：解：（Ⅰ）證明：∵DD₁⊥面AC，AC?平面AC，∴DD₁⊥AC，
∵AC⊥BD，DD₁∩BD=D，BD?平面BDD₁B₁，DD₁?平面BDD₁B₁
∴AC⊥平面BDD₁B₁．
（Ⅱ）連結(jié)AC，BD交于O，
∵AO⊥平面BDD₁B₁，連結(jié)OB₁，A在平面BDD₁B₁上的射影為為O，
∴∠AB₁O為直線AB₁與平面BDD₁B₁所成的角，
OB₁=

OB2+BB12

=

12+( 2 2 )2

 =

6

2

，AB₁=

2

在Rt△AB₁O中，cos∠AB₁O=

OB1

AB1

=

6 2

2

=

3

2

．
∴AB₁與平面BDD₁B₁所成角的余弦值為

3

2

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是正確作出空間角