已知A、B是橢圓的一條弦，向量與AB交于M，且，以M為焦點，以橢圓的右準線為相應(yīng)的雙曲線與直線AB交于N(4，-1)。

（1）求橢圓的離心率e；

（2）設(shè)雙曲線的離心率為e2，e1+e2=f(a)，求f(a)的解析式，并求它的定義域和值域。

答案：
解析：

解：（1）由與AB交于M，則M是AB的中點，

∵  ∴ M(2，1)

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)

∴

且A、B在橢圓上

∴

②-①：b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0

∴ a2=2b2，

∵ a2+b2=c2  ∴ b2=c2  ∴ 。

（2）設(shè)橢圓的右準線為l，過N作NN¢^l于N¢，

則由雙曲線定義及題意知，

；

則。

由題設(shè)知lAB：y=-x+3，代入橢圓方程，消去y得3x2-12x+18-a2=0，

由D=122-12(18-a2)>0，有a2>6，∴ ，

又，

∴ ，再由e>1可得：，

∴ f(a)的定義域為：。由，可得

。

所以f(a)在區(qū)間上，以及區(qū)間上是減函數(shù)。則

,

即。

求f(a)的定義域還可以用下面的方法：由M(2，1)在橢圓的內(nèi)部，e2>1，以及

，a2=2b2。得：解得：

即。


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)和雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的公共頂點．過坐標原點O作一條射線與橢圓、雙曲線分別交于M，N兩點，直線MA，MB，NA，NB的斜率分別記為k1，k2，k3，k4，則下列關(guān)系正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

已知A、B是橢圓的一條弦，向量與AB交于M，且，以M為焦點，以橢圓的右準線為相應(yīng)的雙曲線與直線AB交于N(4，-1)。

（1）求橢圓的離心率e；

（2）設(shè)雙曲線的離心率為e2，e1+e2=f(a)，求f(a)的解析式，并求它的定義域和值域。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知A，B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)和雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的公共頂點．過坐標原點O作一條射線與橢圓、雙曲線分別交于M，N兩點，直線MA，MB，NA，NB的斜率分別記為k1，k2，k3，k4，則下列關(guān)系正確的是（　�。�
A．k1+k2=k3+k4B．k1+k3=k2+k4
C．k1+k2=-（k3+k4）D．k1+k3=-（k2+k4）

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已知A，B是橢圓和雙曲線的公共頂點．過坐標原點O作一條射線與橢圓、雙曲線分別交于M，N兩點，直線MA，MB，NA，NB的斜率分別記為k1，k2，k3，k4，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．k1+k2=k3+k4
B．k1+k3=k2+k4
C．k1+k2=-（k3+k4）
D．k1+k3=-（k2+k4）

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