Question

已知中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離為2，若橢圓被直線x+y+1=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求橢圓的方程

Answer 1

解法一：

令橢圓方程為，由題得：，

由可得，

又即  

橢圓方程為

解法二：

令橢圓方程為，由題得：，

由作差得

又即  

橢圓方程為

解析:

橢圓中心定，焦點(diǎn)定，所以橢圓的位置定，而且由準(zhǔn)線方程可得一個(gè)方程，還有一個(gè)方程怎么找？根據(jù)直線與橢圓相交，可聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理解決，事實(shí)上就是把交點(diǎn)問題化歸為方程根的問題，有關(guān)中點(diǎn)問題還可設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程相減，式中含有三個(gè)未知量，但直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，同樣可得到a與b的關(guān)系（點(diǎn)差法）從而解決問題，但兩者又各有弊端：韋達(dá)定理解決過程中易漏解，需關(guān)注直線的斜率問題；點(diǎn)差法則在確定范圍方面略顯不足。