【題目】如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)均在圓上，且，過點(diǎn)作的平行線分別交，于兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)．問是否存在常數(shù)，使得點(diǎn)為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

【答案】（1）；（2）存在常數(shù)符合題意，理由詳見解析.

【解析】

（1）由平面幾何的相關(guān)性質(zhì)可得，則，即點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，再求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，則代入計(jì)算可得的值，再計(jì)算斜率不存在時(shí)的值，即可得解；

解：（1）由，得，

由，得，所以.

由，知，

所以，即，

所以，

所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.

這里，，所以，，

則點(diǎn)的軌跡方程為：.

（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)，，，

聯(lián)立得，

其判別式，

所以，，

，

所以當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)為定值.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.

綜上，存在常數(shù)，使得為定值img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/26/22/0c62e4d8/SYS202011262207475451781454_DA/SYS202011262207475451781454_DA.037.png" width="22" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，橢圓的上頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為2，證明：過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù).

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（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.

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【題目】甲和乙兩個(gè)人計(jì)劃周末參加志愿者活動(dòng)，約定在周日早上8:00至8:30之間到某公交站搭乘公交車一起去，已知在這段時(shí)間內(nèi)，共有班公交車到達(dá)該站，到站的時(shí)間分別為8:05，8:15，8:30，如果他們約定見車就搭乘，則甲和乙兩個(gè)人恰好能搭乘同一班公交車去的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：以為直徑的圓與直線恒相切.

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【題目】如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，離心率為，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，已知，．

（1）求，的方程；

（2）過作的不垂直于軸的弦，為弦的中點(diǎn)，當(dāng)直線與交于，兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積的最小值．

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【題目】已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)為,,焦距為,直線:與橢圓相交于,兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若直線:與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),,,若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,求的取值范圍.

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