Question

已知，以點C（t，

2

t

）為圓心的圓與x軸交于O、A兩點，與y軸交于O、B兩點．
（1）求證：S_△AOB為定值；
（2）設直線y=-2x+4（3）與圓C交于點M、N，若OM=ON，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）易得C（t，

2

t

）為AB中點，從而可得A（2t，0），B（0，

4

t

），由此可求S_△AOB；
（2）k_OC•k_MN=-1，可得t=±2，從而可確定圓心與半徑，再驗證，當圓心C為（-2，-1）時，直線y=-2x+4與圓C相離，即可得到圓C的方程．

解答：（1）證明：∵∠AOB=90°，
∴C（t，

2

t

）為AB中點
∴A（2t，0），B（0，

4

t

）
∴S_△AOB=

1

2

|2t|×|

4

t

|=4
（2）解：∵OM=ON
∴O在線段MN的中垂線上
∴OC⊥MN
∴k_OC•k_MN=-1
∴

2 t

t

×(-2)=-1
∴t=±2
∴圓心C（2，1）或（-2，-1），r= |OC| =

5

經(jīng)驗證，當圓心C為（-2，-1）時，直線y=-2x+4與圓C相離
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5

點評：本題考查圓方程的綜合運用，考查求圓的方程，關鍵是確定圓的圓心與半徑．