Question

已知點P（1，-2）是以Q為圓心的圓Q：（x-4）²+（y-2）²=9，以PQ為直徑作圓與圓Q交于A、B兩點，連接PA，PB，則∠APB的余弦值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意求出以PQ為直徑的圓的方程，利用直徑所對的圓周角是直角，和解直角三角形，求得sin∠APQ=

AQ

PQ

=

3

5

，利用二倍角公式即可求得∠APB的余弦值．

解答：解：以PQ為直徑的圓圓心為(

5

2

，0)，半徑為

5

2

，
∴圓的方程為：（x-

5

2

）²+y²=

25

4

，
根據(jù)題意知AP⊥AQ，AQ=3，
∴在△PAQ中，sin∠APQ=

AQ

PQ

=

3

5

，
∴cos∠APB=cos2∠APQ=1-2sin²∠APQ=1-2×

9

25

=

7

25

，
故答案為

7

25

．

點評：此題考查的知識有圓周角定理，解直角三角形，以及三角函數(shù)的恒等變形等，根據(jù)題意解直角三角形是解題的關(guān)鍵，同時考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和運算能力．